Criterios de convergencia para series de término no negativos

1) Criterio de D’ Alembert

Calculamos el siguiente límite

Si , la serie converge.
Si , la serie diverge.
Si , no podemos afirmar nada sobre el compartimiento de la serie.

Ejemplo

, por lo tanto la serie converge.

94) Determinar la convergencia de las siguientes series mediante el criterio de D’ Alembert. a) b) c) d) e) f)

2) Criterio de la raíz de Cauchy

Calculamos

Al igual que en el criterio de D’ Alembert

Si  converge

Si  diverge

Si  No se puede determinar el comportamiento de la sucesión.

Ejemplo:

, por lo tanto la serie diverge.

95) Determinar la convergencia de las siguientes series mediante el criterio de Cauchy. a) b) c) d) e)

 3) Criterio de comparación

Para analizar el comportamiento de una serie , calculamos

Siendo  una serie de comportamiento conocido. Si este límite da como resultado un número finito distinto de cero, entonces  tiene el mismo comportamiento que

Las series de comportamiento conocido que se utilizan para comparar son:

a) Serie armónica

La serie armónica  es divergente.

b) Serie armónica generalizada

Se simboliza como

Si , la serie converge.
Si , la serie diverge.

c) Serie geométrica

Se simboliza como

Si , la serie converge.
Si , la serie diverge.
Si , la serie es oscilante

Ejemplo

Analizar el comportamiento de la serie

Esta serie es “parecida” a

Esta es una serie geométrica de razón , menor que uno, es decir que converge.

Calculamos

Como el resultado es un número finito distinto de cero, podemos afirmar que ambas series tienen el mismo comportamiento.

Entonces:

 converge

96) Determinar la convergencia de las siguientes series mediante el criterio de comparación.  a) b) c) d) e)

Series alternadas

Las series alternadas son aquellas en las que se alteran los términos positivos y negativos.

Por ejemplo:

El desarrollo de esta serie es:

(se alternan los términos positivos y negativos)

Para analizar el comportamiento de estas series se utiliza el criterio de Leibniz

1º) Analizar si la serie es decreciente. Si no es decreciente, diverge.

2º) Si es decreciente, probamos con cualquiera de los criterios vistos si converge o diverge.

Si converge, entonces tiene convergencia absoluta.
Si diverge, tiene convergencia condicional.

Ejemplo:

Analizar la convergencia de la serie .

Primero analizamos si crece o decrece. Si una serie es decreciente, cada término debe ser menor al anterior.

Reemplazamos por nuestro término general

El resultado indica que la serie es decreciente para todo n mayor que .

Como n pertenece a los naturales, siempre es mayor que (el menor número natural es 1). Entonces la serie es decreciente.

Una vez que establecimos que es decreciente, analizamos la convergencia con cualquiera de loa criterios vistos. Por ejemplo, D’ Alembert

Como el resultado es menor que 1, la serie converge.
Al ser decreciente y convergente, es absolutamente convergente

97) Analizar la convergencia de las siguientes series alternadas. a) b) c) d) e) 98) Estudiar la convergencia de las siguientes series a) b) c) d) e) f)

Suma de los términos de una serie geométrica

Para las series geométricas convergentes , puede calcularse la suma de sus términos mediante la fórmula:

99) Analizar la convergencia de las siguientes series  geométricas y, en caso de ser posible, calcular su suma: